9月18日、Nature が「AI cracked the Navier–Stokes challenge. What does that mean for physics?」と題した記事を公開した。OpenAIのAIモデルがミレニアム懸賞問題の一つであるナビエ–ストークス方程式の特異点問題を解いたことが、流体力学の研究に何をもたらすかについて詳しく論じている。

Natureが報じた「解いた」の実像

先週、OpenAIは自社の最先端AIモデルがミレニアム懸賞問題（クレイ数学研究所が各問題に100万ドルの賞金を設定した数学上の難問群）の一つを解いたと発表し、世界に衝撃を与えた。Nature記事はこの成果を事実として報じつつも、その意味と限界を慎重に検討するトーンで書かれている。

対象となったのはナビエ–ストークス方程式だ。19世紀に定式化されたこの方程式は、気体や液体がどのように流れるかを記述するもので、航空工学から気象予測まで幅広く使われている。ミレニアム問題としての問いは「非圧縮性の滑らかな流体に対して、常に滑らかな解（特異点を持たない解）が存在するか否か」であり、これは未解決のまま長年残ってきた。今回AIが証明したのは、この問いへの否定的な解答——すなわち「特定の条件下では方程式が『特異点（singularity）』、すなわち物理的にありえない無限の速度を予測してしまう状態（blow-up）に至る」ということだ。「方程式を解いた」というと肯定的な解の発見を想像しがちだが、今回の成果は「滑らかな解が常に存在するわけではない」ことを示した点が核心である。

ブラウン大学の応用数学者 George Karniadakis は、この特異点が発生するのは、空気中の渦が約70ナノメートルの幅まで細くなったときだと計算している。この幅は、空気分子1個が別の分子に衝突するまでの平均移動距離（平均自由行程）と同程度だ。

なぜ70ナノメートルで方程式が限界を迎えるのか

ここがエンジニア的に面白いポイントだ。

ナビエ–ストークス方程式は、流体を連続体として扱う。分子の個々の動きを無視し、流体が隙間なく連続した物質であると近似する。この前提は、スケールが大きければ非常に精度が高いが、渦の幅が分子間距離と同程度まで縮まると、もはや「連続体」という近似が成り立たなくなる。Karniadakisは「その前提が崩れる点で方程式が破綻するのは、物理的に筋が通っている」と述べている。

プリンストン大学のフィールズ賞受賞数学者 Charles Fefferman によると、ナビエ–ストークス方程式はすでに一部の状況で不十分であることが知られていた。今回の問題で対象となった「非圧縮性流体」（水のような液体を良く近似する）に対しては未解明だったが、圧縮性流体に対応する方程式については、特異点が生じることはすでに分かっていたという。今回の証明はその空白を埋めるものでもある。

では、代わりに何を使うのか

方程式が破綻する領域では、別のアプローチが必要になる。記事ではいくつかの選択肢が挙げられている。

**ボルツマン方程式**は、流体を連続体ではなく分子の集合体として扱い、統計的に振る舞いをモデル化する。今年フィールズ賞を受賞したシカゴ大学の数学者 Yu Deng はボルツマン方程式の研究者だが、「ナビエ–ストークスの破綻がボルツマン方程式に何を意味するかは不明だ。ボルツマンも特定の状況では破綻する可能性がある。我々の理解は非常に限られている」と述べている。

分子動力学シミュレーションという手段もある。個々の分子の挙動をコンピューターで直接シミュレートする方法だが、計算コストが膨大で、マクロスケールには到底適用できない。2024年には、スーパーコンピューターを使って記録的な1550億個の水分子をシミュレートした研究があるが、それでも一辺数マイクロメートルの立方体に相当する量にすぎない。

Karniadakisが提唱する「トリプルデッカー」アプローチは、この問題を実用的に回避する手法だ。問題を空間スケールごとにスライスし、極小スケールには分子動力学、大スケールにはナビエ–ストークス方程式、その中間には分子を一定数まとめて平均的な挙動を扱う方程式を組み合わせる。

流体力学への実際の影響

今回の結果が実用的な流体シミュレーション（航空機設計、気象モデリングなど）を直ちに変えるわけではない。特異点が現れるのは70ナノメートルという極限スケールであり、そこはナビエ–ストークス方程式がもともと使われない領域だ。ただし、AIが純粋数学の難問に切り込めることを示した点では、数学とAI研究の両コミュニティに大きな議論を投げかけている。未公開の研究がAIの学習に使われていないか、誰が功績を持つべきか、といった問いも浮上している。

詳細はAI cracked the Navier–Stokes challenge. What does that mean for physics?を参照していただきたい。