5月20日、OpenAIが「An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry」と題した記事を公開した。この記事では、AIモデルが約80年間未解決だった数学の難問「平面単位距離問題」における長年の予想を覆したことについて詳しく紹介されている。以下に、その内容を紹介する。

AIが数学史上初の偉業を達成

OpenAIの汎用推論モデルが、数学界で約80年間未解決だった「平面単位距離問題」の中心的予想を反証した。これは数学の活発な分野における著名な未解決問題を、AIが自律的に解決した初の事例となる。

平面単位距離問題とは、1946年にポール・エルデシュが提起したもので、「平面上にn個の点を配置するとき、距離がちょうど1となる点のペアは最大何個できるか」を問う。組み合わせ幾何学で最もよく知られた問題の一つで、プリンストン大学の組み合わせ論の第一人者ノガ・アロンは「エルデシュのお気に入りの問題の一つ」と評している。

正方格子が最適という80年の通説を覆す

従来、正方格子構造が単位距離ペア数を最大化する上でほぼ最適だと広く信じられていた。エルデシュは上限をn^(1+o(1))と予想し、これが80年間の定説となっていた。

しかし今回のAIによる証明は、この長年の予想を完全に否定した。無限個のnに対して、少なくともn^(1+δ)個（δ>0は固定）の単位距離ペアを持つ構成が存在することを示した。プリンストン大学のウィル・サウィン教授による改良版では、δ=0.014とできることが分かっている。

代数的数論の深い理論を幾何学に応用

証明で特に驚くべきは、代数的数論という全く異なる数学分野の高度な概念を活用したことだ。エルデシュの元の構成がガウス整数（a+biの形の数）を使っていたのに対し、新しい証明はより複雑な代数体を利用している。

具体的には、無限類体塔やゴロド・シャファレヴィッチ理論といった専門的な道具を使い、必要な数体が実際に存在することを示した。これらの概念が平面幾何学の問題に応用できるとは、専門家にとっても大きな驚きだった。

従来知られていた正方格子を再スケールした構成

数学界の権威が称賛

フィールズ賞受賞者のティム・ガワーズは「AI数学における画期的成果」と評価。数論の権威アルル・シャンカールは「現在のAIモデルが人間の数学者の単なる助手を超えて、独創的で巧妙なアイデアを持ち、それを完遂できることを示している」と述べている。

この結果について、数学者トーマス・ブルームは興味深い観察をしている：

これは数論的構成がこの種の問題について予想以上に多くを語れることを示している。しかも必要な数論は非常に深い。間違いなく多くの代数的数論学者が、今後数ヶ月で離散幾何学の他の未解決問題を詳しく調べることになるだろう。

汎用AIモデルによる自律的発見

今回の成果で特筆すべきは、数学専用に訓練されたシステムではなく、汎用推論モデルによって発見されたことだ。OpenAIが複数のエルデシュ問題でモデルを評価した際、この問題の証明を自律的に生成した。

数学は推論能力の明確なテストベッドを提供する。問題は精密で、証明は検証可能で、長い議論は最初から最後まで論理が一貫していなければ成立しない。

研究の未来を変える可能性

この成果は数学を超えた意味を持つ。複雑な議論を一貫して保持し、知識の離れた分野のアイデアを結びつけ、専門家の検証に耐える作業を生成できる能力は、生物学、物理学、材料科学、工学、医学でも有用だ。

ブルームは将来への期待を込めてこう述べている：

知識の最前線は非常にとがっており、今後数ヶ月から数年で、AIが予期しない関連性を明らかにし、既存の技術的機械を限界まで押し進めることで、長年の未解決問題が解決される類似の成功が数学の多くの分野で見られるだろう。

ただし、人間の判断は依然として不可欠だ。AIは探索、提案、検証を支援するが、重要な問題を選び、結果を解釈し、次に追求すべき問題を決めるのは人間の役割である。

詳細はAn OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometryを参照していただきたい。