問題

production:
  <<: *default
  adapter: mysql2
  encoding: utf8
  pool: 5
  database: RailsTutorial_on_EC2_production
  username: root
  password: <%= ENV['DATABASE_PASSWORD'] %>
  socket: /var/lib/mysql/mysql.sock

database.ymlのパスワードに環境変数を埋め込んでいて、~/.bash_profileにその環境変数を記述しており、rails console上でENV['DATABASE_PASSWORD']で正しく表示されることを確認したにもかかわらず、

Access denied for user 'root'@'localhost' (using password: NO)

とエラーが起きてしまう。

解決

export DATABASE_PASSWORD='（パスワード）'

/etc/environment に環境変数を記述したら読み込まれるようになった。